Pythagoraan lause ja 3-4-5-kolmio

Seuraava aihe on hyvin kiistelty matematiikan historiassa: kuka oli ensimmäinen ihminen, joka käytti Pythagoraan lausetta ja sen erästä tulosta, 3-4-5-kolmiota. Tässä yhteydessä näytetään, että ainakin pyramidien rakentajat tunsivat tämän lauseen jo vuonna 2500 ennen ajanlaskun alkua.

Lause 8. (Pythagoraan Lause)

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (sivu, joka on suoraa kulmaa vasten) neliö on sama kuin kahden muun sivun neliöt. Lause voidaan kirjoittaa yhtälönä sivujen a, b ja c suhteen, ja tätä yhtälöä kutsutaan Pythagoraan yhtälöksi:

missä c on hypotenuusan pituus sekä a ja b kahden muun sivun pituudet. (Sally, 2007)

Todistus.

Todistuksessa käytetään intialaisen Bhaskaran (1114-1185) kehittämää Katso! -tekniikkaa. (Lehtinen, 2014)

∎

Seuraus 1. (Käänteinen Pythagoraan lause)

Myös Pythagoraan Lauseen käänteinen tulos pätee: Jos kolmion yhden sivun neliö on sama kuin kahden muun sivun neliön summa, kyseessä on suorakulmainen kolmio.

Todistus.

Todistus sivuutetaan. Ks. esim. Eukleideen Alkeet, Kirja I ja Propositio 48. (Joyce, 1998)

∎

Hyvä esimerkki käänteisestä Pythagoraan Lauseesta on

täytyy siis olla olemassa suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat 3 ja 4 sekä hypotenuusa 5.

Historioitsijat ovat pohtineet mahdollisuutta, että tätä ymmärrystä olisi käytetty hyväksi egyptiläisten pyramidien rakennustöissä, kun suoraa kulmaa on tarvittu ja käytetty. Tiedetään myös, että egyptiläiset sitoivat yhteen naruun 12 solmua tasaisin välein, ja sitten asettelivat tuon narun muotoon 3, 4 ja 5 solmua. Tämä on ilmeisesti ollut tapa valmistaa ensimmäinen suora kulma.