Joukko-oppi - looginen ajattelutapa
Matematiikan Joukko-oppi on tehokas tapa tarkastella ja ymmärtää asioiden tai ominaisuuksien välisiä suhteita. Tässä yhteydessä esitetään joukko-opista vain kaikista yksinkertaisimmat, mutta silti tärkeimmät tulokset, eli perusteet. Joukko-oppi sopii erittäin hyvin osaksi loogista ajattelutapaa, joka jokaisen ihmisen kannattaa opetella.
Tämän opetusmateriaalin kautta opit yhdistämään loogista ajattelua ympyröiden (TAI muiden kuvioiden) piirtämiseen. Kuvioiden piirtäminen auttaa monia ihmisiä sisäistämään asioita ja asettamaan niitä suhteisiin toisiinsa nähden. Heille tämä on juuri oikea tapa oppia logiikkaa.
Tässä loogisessa ajattelutavassa tarvitaan kaksi työkalua. Ensimmäinen on nimeltään Venn-diagrammi. Katsotaan heti, millainen se on.
Kuva 1. Venn-diagrammi kuvaa joukkojen väliset matemaattiset TAI loogiset suhteet. Kuvassa joukot A ja B, sekä leikkaus A∩B korostettuna
Toinen tarvittavista työkaluista tulee logiikan puolelta. Joukko-opissa on periaatteessa aivan samat loogiset operaatiot käytössä kuin logiikassa, mutta niitä nimitetään vain hieman eri tavoin.
Muodostetaan seuraavaksi kaksi joukkoa, jotka ovat myös kuvassa 1. Merkitään joukkoja isoilla kirjaimilla A ja B. Joukoissa voi olla jäseniä (alkioita), joita merkitään vastaavasti pienillä kirjaimilla (a, b, c, d, jne.).
Olkoon joukko A kaikki amerikkalaiset, sekä olkoon joukko B kaikki eurooppalaiset. Merkitään:
A = { Amerikkalaiset }
B = { Eurooppalaiset }
Otetaan sitten tarvittavia määritelmiä. Seuraavat määritelmät ovat yleisesti matematiikassa käytössä.
1. Unionit
Jos valitsemme tarkastella sekä amerikkalaisia että eurooppalaisia, silloin tutkimme molempia joukkoja A ja B. Tällöin käytetään termiä unioni. Eli joukkojen A ja B unionia merkitään ? ∪ ? ja se tarkoittaa, että molempia joukkoja tarkastellaan yhtä aikaa. Unioniin kuuluvat jäsenet, jotka kuuluvat joukkoon A, tai B, tai molempiin. Loogisesti unioni on sama looginen operaattori kuin TAI.
2. Komplementit
Jos henkilö on amerikkalainen, mutta ei eurooppalainen, hän kuuluu joukkoon A. Myös jos henkilö on eurooppalainen, mutta ei amerikkalainen hän kuuluu joukkoon B. Jos kaikki tarkastelemamme ihmiset kuuluisivat joko joukkoon A tai B, ei kukaan molempiin joukkoihin A ja B yhtä aikaa, niin silloin joukot A ja B olisivat toistensa komplementteja. Komplementti tarkoittaa, että joukoilla ei ole yhtään yhteistä jäsentä. Komplementtijoukkoa merkitään yleensä Ac, mikä tarkoittaa joukon A komplementtijoukkoa. Komplementtijoukko on loogisesti sama asia kuin logiikan ilmaus negaatio.
3. Leikkaukset
Jos olisi olemassa henkilö x, joka on sekä amerikkalainen että eurooppalainen (kaksi kansalaisuutta), tällöin sanoisimme, että x kuuluu joukkojen A ja B leikkaukseen – eli x kuuluu molempiin joukkoihin A ja B. Leikkaukset merkitään yleensä ? ∩ ?, mikä tarkoittaa joukkojen A ja B leikkausta. Leikkaus on loogisesti sama operaattori kuin JA.
4. Tyhjä joukko
Sitten jos valitsemme tarkastella vain jäsentä y, joka on aasialainen henkilö, tällöin tietäisimme silti joukkojen A ja B yhä olevan olemassa, mutta koska tarkastelemme vain jäsentä y, voisi sanoa, että joukot A ja B ovat tyhjiä joukkoja – niissä ei ole yhtään jäsentä. Tyhjää joukkoa merkitään yleensä ∅. Toisaalta jos tarkastelisimme vain amerikkalaisia, pätisivät seuraavat merkinnät: ? ≠ ∅, ?? ? = ∅, eli A ei ole tyhjä joukko ja B on tyhjä joukko.
5. Osajoukot
Seuraavaksi jos olisi hypoteettinen sota, jossa eurooppalaiset valloittaisivat amerikkalaiset, niin tämän sodan jälkeen joukko A kuuluisi joukkoon B, eli joukko A olisi joukon B osajoukko. Tällöin olisi voimassa fakta, että jokainen joukon A jäsen kuuluisi joukkoon B, mikä on ehto osajoukolle. Osajoukkoa merkitään A ⊂ B, eli joukko A kuuluu joukkoon B. Osajoukkoihin liittyvä huomio on eräs matemaattinen todistusmenetelmä, jossa todetaan, että jos joukko A kuuluu joukkoon B ja samalla joukko B kuuluu joukkoon A, tällöin joukko A on joukko B.
6. Joukkoerotus
Joukkoerotus tarkoittaa tietyn joukon kaikkien alkioiden poistamista toisesta joukosta. Jos meillä vaikka edelleen on B, eli eurooppalaiset, ja olkoon sen lisäksi uusi joukko S, joka on suomalaiset. Nyt jos haluaisimme ilmoittaa eurooppalaiset ilman suomalaisia, voisimme merkitä B \ S (joskus myös B – S).
Käytännön esimerkki joukko-opin logiikasta
Olkoon esimerkissämme tilanne, jossa on tapahtunut kioskiryöstö alueella A, osoitteessa O, kello 12.00. Rikostutkimuksessa voidaan käyttää joukko-opin logiikkaa hyväksi esimerkiksi seuraavalla tavalla:
Aletaan muodostaa joukkoja siten, että niihin tulee mahdollisia epäiltyjä. Tämän jälkeen muodostetuista joukoista otetaan niiden kaikkien yli leikkaus (tarkoittaa, että tarkastellaan vain sellaisia joukon alkioita, eli tässä tapauksessa epäiltyjä, jotka ovat jokaisessa joukossa).
A = { henkilöt, jotka olivat alueella A, osoitteen O lähellä klo 12 aikaan tuona päivänä }
B = { jos tekijä oli mies, on tässä joukossa suomalaiset miehet TAI suomessa rikoksen aikaan olleet miehet }
C = { jos tekijällä oli silminnäkijän mukaan punainen paita, on tässä joukossa punaisen paidan omistajat TAI lainaajat }
D = { lähistöltä heti rikoksen jälkeen kiinniotetut henkilöt }
Jos kyseessä olisi vakavampi rikos, kuten esimerkiksi henkirikos, voisi joukkoja olla hyvinkin paljon lisää. Esimerkiksi:
E = { teletunnistetietojen mukaan paikalla olleiden lista }
F = { rikospaikalta löytyneiden sormenjälkien osoittamien henkilöiden lista }
G = { rikospaikalta löytyneiden DNA-tunnisteiden osoittamien henkilöiden lista }
H = { henkilöt, joilla on jokin motiivi tehdä rikos }
jne. jne.
Mitä enemmän tarkkaan rajattuja joukkoja keksitään ja luodaan, sitä rajatummaksi käy myös niiden yhteinen leikkaus. Tämä tarkoittaa, että sitä vähemmän jää jäljelle epäiltyjä, mikä puolestaan tarkoittaa, että sitä lähempänä on kyseisen rikoksen ratkaisu. Lopulta jos löytyy vain yksi ihminen, joka on kaikkien tai useimpien joukkojen leikkauksen ainoa alkio – on hän todennäköisesti syyllinen, tai ainakin pääepäilty, johon tutkintaa kannattaa fokusoida.
Huomautus: Tämä esimerkki ei ollut aito kuvaus poliisin toiminnasta, vaan kuvitteellinen esimerkki, miten joukko-opin logiikkaa voisi käyttää apuna poliisitutkinnassa. Joukko-oppia käytettiin tässä logiikan työkaluna ja sen avulla pyrittiin siis löytämään yhteinen nimittäjä/tekijä, joka on mukana mahdollisimman monessa eri joukossa.
Joukko-opin harjoitustehtäviä
Muodostetaan seuraavat joukot:
A = { suomalaiset }
B = { ruotsalaiset }
E = { eurooppalaiset }
a) Merkitse joukko-opin loogisia operaattoreita käyttäen uusi joukko M, joka koostuu sekä suomalaisten että ruotsalaisten joukoista. Piirrä tästä myös kuva. Huom. joukot voivat olla osittain päällekkäisiä, sillä on olemassa ihmisiä, joilla on molempien maiden kansalaisuus.
b) Merkitse sitten uusi joukko N, joka koostuu ihmisistä, joilla on Suomen ja Ruotsin kaksoiskansalaisuus. Piirrä taas kuva.
c) Merkitse sitten uusi joukko P, joka koostuu vain sellaisista suomalaisista, joilla ei ole kaksoiskansalaisuutta Ruotsiin. Piirrä taas kuva.
d) Miten piirtäisit tilanteen, jos tietäisit, ettei kenelläkään ole kaksoiskansalaisuutta, vaan joukot A ja B ovat toisistaan täysin erillisiä… Miten merkitsisit tilanteen joukko-opin operaattoreita käyttäen? (vihje: jos joukot ovat erillisiä, millainen niiden leikkaus tuolloin on?)
e) Merkitse suomalaiset kuuluvat eurooppalaisiin. Miten piirtäisit tämän tilanteen?
f) Piirrä eurooppalaiset, johon kuuluvat Suomen ja Ruotsin kaksoiskansalaiset. Kun piirros on valmis, ilmoita piirroksen tulos joukko-opin operaattoreita käyttäen.
g) Miten piirtäisit joukon Ac , eli suomalaisten komplementtijoukon? (Vihje: Voit joko pitää ylimpänä joukkona eurooppalaisia tai tehdä uuden joukon ”ihmiskunta”.)
h) Piirrä ja merkitse eurooppalaiset, josta on poistettu suomalaiset ja ruotsalaiset, mutta johon kuitenkin kuuluvat Suomen ja Ruotsin kaksoiskansalaiset.
Harjoitustehtävien esimerkkiratkaisut:
Älä avaa tiedostoa ennen kuin olet ihan oikeasti yrittänyt ratkaista tehtäviä. On tärkeämpää oppia itse päättelemään vastaukset, kuin vain opetella kopioimaan ne ulkomuistiin.
