Logiikan yleiskuvaus ja peruskäsitteet

Logiikalla on niin jalo tehtävä kuin totuuden säilyttäminen. Oppiaineena logiikassa opetellaan pätevää päättelyä, jossa lähtötilanteessa oleva totuus pyritään säilyttämään totuutena koko päättelyprosessin ajan. Jos päättelyn ensimmäinen ajatus on totta, eikä siihen käytetä epäpätevää päättelyä, on myös päättelyn lopputulos totta. Ja valitettavan vastaavasti, jos päättelijä ei osaa ajatella riittävän loogisesti, vaan hän vaikkapa nojautuu oman sisäisen maailmansa lainalaisuuksiin, kuten uskomuksiin ja tunneimpulssien ohjaukseen, päättelyprosessi korruptoituu ja lopputulemana ei tule enää totuutta, vaan jotain ihan muuta – ihmisen omaa totuutta.

 

Esimerkki (tasa-arvo, älä tapa)

Otetaan heti alkuun logiikasta pari lyhyttä esimerkkiä.

Ihminen voi ajatella: miehet ja naiset ovat tasa-arvoisia ihmisiä. Kuitenkin vaippojen vaihtaminen ja lapsen kanssa kotiin jäänti on naisten hommaa. TAI Auton korjaaminen tai lampun vaihtaminen on miesten hommaa.

Johtopäätös: päättelijän oma uskomus naisten ja miesten hommista sumentaa loogisen päättelyn, eikä naisten ja miesten tasa-arvo ole enää voimassa, kun päättely saadaan valmiiksi. Tämän vuoksi kyseisen ihmisen sisäisessä maailmassa on ristiriita. Hän ajattelee ihmisten olevan tasa-arvoisia, mutta samaan aikaan hän jakaa ihmiset epätasa-arvoisesti.

Ihminen voi ajatella: uskon Raamatun Jumalaan. Uskon 10 käskyn olevan lähtöisin Jumalalta ja toteutan niitä elämässäni. Uskon, että Jumala voi uskon tähden johtaa ihmiset sotimaan ja tappamaan toisiansa. TAI Uskon, että vakavia rikoksia tehneiden rikollisten kohdalla kuolemantuomio on oikein.

Johtopäätös: päättelijän ajatteluprosessiin tulee ristiriita kolmannessa kohdassa. Toisessa kohdassa päättelijä tunnustaa uskovansa 10 käskyyn, joista eräs käsky kuuluu: ”Älä tapa.” Seuraavassa lauseessa ihminen kuitenkin ilmoittaa uskovansa myös täysin vastakkaisella tavalla.

 

Yllä olevissa esimerkkitilanteissa looginen päättely ei ole pätevää, eikä totuus siksi säily päättelyketjun loppuun asti. Ihmisen oman maailman ja oman totuuden tunnistaakin yleensä siitä, ettei se noudata loogista pätevää päättelyä. Mitä enemmän ihmisen omat uskomukset, arvot ja moraali ovat keskenään ristiriidassa, sitä enemmän ihminen kuormittaa itseänsä sisäisesti. Monille terapiassa käyneille on tuttua, että kun jokin ristiriita avautuu ja loksahtaa kohdilleen, saattaa yhtäkkiä ahdistus tai masennusoireet laimentua tai jopa kokonaan poistua. Jo pelkästään tämän vuoksi logiikkaa kannattaa opiskella: logiikka antaa työkaluja omien ristiriitaisuuksien metsästykseen. Uskonnoista tuttua pyhän sodan symboliikkaa kannattaakin soveltaa ensisijaisesti oman sisäisen maailman läpi käymiseen. Oikea pyhä sota on omien uskomusten metsästystä, sekä arvojen ja ristiriitojen keskinäisten taisteluiden ratkaisemista.

Seuraavaksi opiskellaan pätevää loogista päättelyä, sekä tutustutaan yleisimpiin virheellisiin päättelytapoihin.

 

Logiikkaan liittyviä merkintätapoja ja määritelmiä

Kaikki Totuudentalossa käytetyt merkintätavat eivät ole välttämättä tieteessä yleisesti käytössä olevia, mutta niille on kuitenkin jonkinlaiset loogiset perusteet.

 

≡

Merkillä ”≡” ilmaistaan kahden asian olevan symboleiden tasolla loogisesti sama asia, vaikkakin asiat yleensä esiintyvät eri konteksteissa. Merkin voi lukea ”samaistuu”.

Esimerkki: Raamatun Neitsyt Maria ≡ Isis jumalatar Egyptissä.

Luetaan: Raamatun Neitsyt Maria samaistuu Isis jumalattareen Egyptissä.

Sama ”≡” -merkki tarkoittaa matematiikassa eri lukujen samaistumista toisiinsa modulo-laskennassa. Esimerkiksi luvut 1 ja 13 ovat samaistettavissa luvun 12 modulossa, eli kansankielisesti sanottuna kellotaulussa. Merkitään 1 ≡ 13 (mod 12).

Logiikassa on myös sama ”≡” -merkki käytössä. Logiikassa tätä merkkiä käytetään ilmaisemaan looginen ekvivalenssi. Määritelmä kuuluu: Propositiot A ja B ovat loogisesti ekvivalentit, merkitään A ≡ B, jos A ↔ B on tautologia, ts. jos A ja B eivät eroa toisistaan totuusarvojen suhteen. Tämän materiaalin läpi käytyä ja sisäistettyä sinun pitäisi kyetä lukemaan tuo yllä oleva lause ja jopa ymmärtää, mitä se tarkoittaa… Tässä vaiheessa on erittäin ok, vaikket ymmärtänyt siitä mitään.

 

†

Merkillä ”†” ilmaistaan kahden asian olevan loogisessa tai symboleiden tason ristiriidassa keskenään. Merkin voi lukea ”on ristiriidassa”. Totuudentalon käsin kirjoitetuissa muistiinpanoissa ristiriitaa on merkitty ”salama” -merkillä.

Esimerkki: Kannatan miesten ja naisten tasa-arvoa. † Miesten kuuluu aina avata naisille ovi.

Luetaan: Kannatan miesten ja naisten tasa-arvoa, on ristiriidassa sen kanssa, että miesten kuuluu aina avata naisille ovi.

 

Aloitetaan logiikan opiskelu logiikan kannalta oleellisimmalla ja tärkeimmällä määritelmällä. Totuudentalon logiikan oppimateriaalissa käytetään sanoja propositio, väite ja lause tarkoittamaan hyvin pitkälle samaa asiaa, mutta tässä ensimmäisessä määritelmässä on hyvä sisäistää, mitä sanoilla oikein tarkoitetaan ja miten ne suhtautuvat toisiinsa.

 

Määritelmä (Propositio)

Propositio on väite, että jokin on jotain. Käytämme puhutussa ja kirjoitetussa kielessä lauseita esittääksemme väitteitä.

 

Esimerkki (erilaisia väitteitä, eli propositioita ilmaistuna lauseiden avulla)

”Fiat on auto.” (lause) Tässä lauseessa väitämme, että jokin asia X, jota nimitetään termillä Fiat, on auto, eli että se kuuluisi autojen joukkoon. Perusolettamuksena meillä on autojen joukon olemassaolo.

”Minä olen ihminen.” (lause) Lauseen mukaan sen lausuja väittää kuuluvansa ihmisten joukkoon.

”1 + 1 = 2” (lause) Lauseen mukaan luku 1 lisättynä itsellään, eli luvulla 1, on yhtä kuin luku 2. Tässä vaiheessa voimme vain todeta väitteen olemassaolon, mutta vaatisi paljon lisätietoa todistaa se oikeaksi… Pitäisi määritellä esimerkiksi i) mikä on luku 1, ii) mikä on yhteenlaskuoperaatio, iii) mikä on ”on yhtä kuin” -merkintä, sekä iv) mikä on luku 2.

 

Määritelmä (Totuusarvo)

Kullakin propositiolla voi olla vain seuraavat totuusarvot:

• tosi (merkitään ”1”)
• epätosi (merkitään ”0”)

 

Peruslogiikka pidetään yksinkertaisena, eikä siinä huomioida, että jotkin asiat voivat olla tosia ja epätosia yhtä aikaa. Tässä opetusmateriaalissa pidättäydytään ajattelemaan, että väite ”A” on tosi jos ja vain jos ”A”. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi ”Pihalla sataa” (= ”A”) on totta, jos ja vain jos pihalla sataa. Vastaavasti väite ei ole totta, jos ja vain jos pihalla ei sada. Näin voidaan yleistetysti ajatella, että väite on totta, jos se todella kuvaa maailman tilaa, ja vastaavasti väite on epätosi, jos se ei kuvaa totuudenmukaisesti maailman tilaa. (vrt. Tarski’s theory of truth)

Vastaesimerkki: Miten pihalla voi sataa ja ei sataa yhtä aikaa? Jokaisella sadekuurolla on luonnollisesti reunansa ja reuna voi sijaita keskellä pihaa, jolloin toisella puolella pihaa sataa ja toisella ei. Tällöin totuus riippuu esimerkiksi ikkunasta, josta pihalle katsoo. Voimme myös ottaa suuremman mittakaavan ja todeta, että maapallolla sataa ja ei sada (jonkun ihmisen pihalla) koko ajan.

Huomautus: Peruslogiikka voidaan vielä myös pidemmälle ja määritellä, että väite on totta, jos se todella kuvaa olevaisen tai olemattoman maailman tilaa, ja vastaavasti väite on epätosi, jos se ei kuvaa niitä totuudenmukaisesti. Tämä on tosin jossain määrin turhaa, sillä yleisesti tämän päivän tieteessä olevainen ja olematon maailma ovat sekoitettuna keskenään ja niihin molempiin viitataan ”maailmalla”.

Huomautuksen huomautus: Yllä olevassa huomautuksessakaan oleva, laajennettu peruslogiikka ei riitä kuvaamaan KE-tietoisuutta (KET), joka on olevaisen ja olemattoman maailman välissä, ollen myös tosi ja epätosi yhtä aikaa. KE-tietoisuudesta pari esimerkkiä ovat i) ihmisen aikajana, joka ei ole oikeasti totta, mutta silti sen avulla voi tehdä merkittäviä psykologisia prosesseja, sekä ii) kompleksiluvut, jotka eivät oikeasti ole totta, mutta silti niiden avulla voi ratkaista sellaisia matemaattisia ongelmia, jotka muuten olisivat vaikeita, elleivät jopa mahdottomia ratkaista.

 

Määritelmä (Loogiset operaattorit)

Loogiset operaattorit yhdistävät kaksi väitettä uuteen muotoon, kuin uudeksi väitteeksi. Uuden väitteen totuusarvo määräytyy kahden liitettävän väitteen totuusarvojen mukaisesti.

NIMI:	LUETAAN:	MERKITÄÄN:
Konjuktio	JA	∧
Disjunktio	TAI	∨
Implikaatio	JOS-NIIN	⇒ tai ⇐
Negaatio	EI	¬
Ekvivalenssi	JOS-JA-VAIN-JOS	⇔

Huom. jossain yhteydessä implikaatiosta käytetään myös termiä konditionaali, jolloin ekvivalenssista käytetään termiä bikonditionaali.

Loogisia operaattoreita on olemassa muitakin, mutta yksinkertaistetun oppitunnin nimissä niitä ei esitellä tässä yhteydessä. Muut operaattorit löytyvät esimerkiksi tästä Wikipedia linkistä Totuustaulu.

 

Esimerkki (loogiset operaattorit)

Vihje: Jotta sinä oikeasti hahmotat nämä kaikki esimerkit, sinun kannattaa luoda itse samantyyliset lauseet ja käydä niiden kanssa tämä sama prosessi läpi.

Merkitään:

A = ”aurinko paistaa”

B = ”sataa vettä”

Haluamme sanoa: ”aurinko paistaa JA sataa vettä”. Merkitään tätä uutta propositiota kirjaimella C. Seuraavaksi muotoilemme lauseen C lauseiden A ja B avulla, niin ettei totuus häviä matkan aikana. Käytetään merkintätapana juuri opittuja loogisia operaattoreita.

C = A ∧ B,

joka voidaan lukea ”A JA B”, eli ”aurinko paistaa JA sataa vettä”. Näin saimme kirjoitettua loogisia operaattoreita käyttämällä juuri saman lauseen, kuin mitä haluttiin.

Vastaavasti voisimme sanoa: ”aurinko paistaa JA EI sada vettä”. Merkitään tätä propositiota kirjaimella D. Nyt käytämme loogisista operaattoreista negaatiota ilmaisemaan B:n vastakohtaa.

Koska B = ”Sataa vettä”, niin ¬B = ”EI sada vettä”.

Tällöin voimme kirjoittaa,

D = A ∧ ¬B,

joka voidaan lukea ”A JA EI B” tai ”A JA B:n vastakohta/negaatio”, eli ”aurinko paistaa JA EI sada vettä”.

Otetaan vielä viimeiseksi esimerkki, jossa ”aurinko paistaa TAI sataa vettä”. Merkitään tätä tilannetta kirjaimella E. Nyt voidaan merkitä:

E = A ∨ B,

joka luetaan ”A TAI B”. Loogisten operaattoreiden TAI-merkinnässä on yksi erikoisuus. TAI tarkoittaa todellisuudessa TAI sekä JA. TAI-operaattori ei siis rajaa vaihtoehtoja vain kahteen mahdollisuuteen, vaan TAI pitää sisällään myös sen vaihtoehdon, että molemmat ovat. TAI tarkoittaakin tilanteita ”joko tai” ja ”sekä että”.

Jos siis päätämme kirjoittaa E = A ∨ B, on E totta kaikissa seuraavissa tilanteissa:

A on totta, mutta B ei ole totta.

B on totta, mutta A ei ole totta.

A on totta ja B on totta.

Ehkä tilannetta voisi kuvailla intuitiivisesti siten, että kunhan jokin totuus säilyy, niin totuus säilyy.

 

Käydään seuraavaksi läpi esimerkit ”JOS-NIIN” ja ”JOS-JA-VAIN-JOS” tilanteista. Tähän tarvitaan uusia lauseita, sillä auringon paisteella ja sateella on näitä operaattoreita hieman vaikeaa demota.

M = ”pertti haluaa pelata frisbeegolfia”

N = ”pertti ostaa frisbeen”

Näin meillä on kaksi uutta propositiota, joita yllä olevat lauseet kuvaavat, ja jotka oletamme olevan totta.

Lähdetään muodostamaan uusi lause P = ”JOS pertti haluaa pelata frisbeegolfia NIIN pertti ostaa frisbeen”. Käytetään loogisia operaattoreita. P = M ⇒ N,

mikä luetaan ”JOS M NIIN N”, eli ”JOS pertti haluaa pelata frisbeegolfia NIIN pertti ostaa frisbeen”.

 

Kokeillaan mitä tapahtuu, jos vaihdamme lauseiden järjestystä. Olkoon tämä uusi lause Q. Q = N ⇒ M, joka voidaan merkitä myös Q = M ⇐ N.

Nyt luetaan ”JOS N NIIN M”, eli ”JOS pertti ostaa frisbeen NIIN pertti haluaa pelata frisbeegolfia”.

Sitten muodostetaan vielä tilanne, jossa ”pertti haluaa pelata frisbeegolfia JOS-JA-VAIN-JOS pertti ostaa frisbeen”. Olkoon väite R. Tämä merkitään

R = M ⇔ N,

eli ”M JOS-JA-VAIN-JOS N”. Merkintä ⇔ on hyvin ehdoton ja sitova, sillä sehän tarkoittaa suoraan, että asian M on tapahduttava täydellä varmuudella, jotta N voi olla. Loogisesti lause kuitenkin yhtä aikaa tarkoittaa myös, että asian N on tapahduttava täydellä varmuudella, jotta M voi olla. Merkintä ⇔ sitoo siis molemmat väitteet toisiinsa syy-seuraus-suhteella.

Huomautus: matemaattisessa todistamisessa JOS-JA-VAIN-JOS on erittäin tärkeässä roolissa. Monet matemaattiset väitteet todistetaan ensin JOS-NIIN ⇒ toiseen suuntaan, ja sitten JOS-NIIN ⇐ toiseen suuntaan, ja kun molemmat puolet on käsitelty, on tämä loogisesti sama asia kuin ⇔, mikä tarkoittaa, että jos toisesta seuraa toinen ja toisesta toinen, niin kyseessä on oltava yksi ja sama asia.

Huomautuksen esimerkiksi: Jos x ≤ 2 JA x ≥ 2, on x:n oltava 2 (x = 2). Tämä on ainoa tilanne, jossa JOS-JA-VAIN-JOS on voimassa. Tässä tilanteessa voi intuitiivisesti ajatella, että JOS-JA-VAIN-JOS on sama asia kuin ”=” -merkki.

Pohdittavaa: Voiko sellainen tilanne olla totta, jossa ”pertti ostaa frisbeen”, vaikka ”pertti EI halua pelata frisbeegolfia”?

 

Erilaisia vaihtoehtoja totuuksille ja totuuksien säilymiselle kuvataan totuustaulujen avulla. Tutustutaan seuraavaksi totuustauluun.

 

Totuustaulu

Totuustaulun määritelmän voi opiskella omatoimisesti tästä Wikipedia linkistä (Totuustaulu). Totuustaulu esitellään tarkemmin myös lopussa olevissa materiaalilinkeissä.

Tässä yhteydessä tyydytään muodostamaan vain yksinkertainen totuustaulu yllä olevista väitteistä M ja N.

Totuustauluissa merkitään totta olevat asiat luvulla 1, ja epätosi merkitään luvulla 0. Nyt voimme muodostaa totuustaulun väittämien M ja N suhteen.

 

M	N	M ⇒ N (implikaatio)	M ⇔ N (ekvivalenssi)
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

 

Totuustaulu kertoo meille monia asioita. Aluksi voisimme pohtia taulukon vasemman puolen sarakkeita, eli niitä, joissa M ja N kirjaimet ovat ylimpinä. Kirjainten alla on yhteensä 4 riviä, sillä M ja N voivat olla toisiinsa nähden totta ja epätotta yhteensä neljällä eri tavalla:

1) Molemmat ovat totta (1), joka on ylin riveistä.

2) M totta ja N epätosi.

3) M epätosi ja N tosi.

4) Molemmat ovat epätosia (0), joka on alin riveistä.

 

Implikaation totuustaulu

Seuraavaksi näemme, miten totuus säilyy implikaation mukaisessa loogisessa päättelyssä. Tutkitaan saraketta M  N.

1) Ylin rivi näyttää, että jos molemmat M ja N ovat totta, niin voidaan vetää looginen johtopäätös. Tämä siis tarkoittaa, että kun ”pertti haluaa pelata frisbeegolfia” ja ”pertti ostaa frisbeen”, voidaan totuudenmukaisesti sanoa ”JOS pertti haluaa pelata frisbeegolfia NIIN pertti ostaa frisbeen”.

2) Toisella rivillä vain M on totta, mutta nyt N on epätosi. Tämä muodostaa tilanteen, jossa ”pertti haluaa pelata frisbeegolfia”, mutta ”pertti ei osta frisbeetä”. Emme siis voi vetää johtopäätöstä M ⇒ N, sillä muuten totuus vääristyisi. Vaikka pertti haluaa pelata, hän ei välttämättä osta pelivälinettä. Totuuden kannalta onkin tärkeää tietää, että molemmat lähtötilanteen lauseet ovat totta. Jos esimerkiksi yritämme lukea toisen ihmisen ajatuksia, voimme helposti luulla M:n ja N:n olevan totta, vaikka toinen niistä voi olla epätosi… Tällöin muodostamme loogisen virhepäätelmän ja totuus on haihtunut savuna ilmaan. Ehkä pertti on saanut frisbeet ilmaiseksi jo aiemmin ja hän vasta nyt haluaa pelata, tai ehkä pertti haluaisi pelata, mutta kokee sen niin ajanhukaksi, ettei aio tarttua haluunsa kiinni ja ostaa kiekkoa. Totuus ei voi koskaan päivittyä epätodeksi ja silti sen jälkeen olla totta.

3) Seuraava tilanne on sellainen, missä M on epätosi ja N tosi. Toisin sanoen ”pertti ei halua pelata frisbeegolfia”, mutta ”pertti ostaa frisbeen”. Tällöin kaavamme M ⇒ N toimii, vaikka M onkin epätosi. Voimme sanoa N:n seuraavan M:stä, vaikka M ei olekaan totta. Ehkä pertti haluaa sijoittaa keräilyharvinaisuuskiekkoon, tai ostaa kiekon jollekin lahjaksi. Tässä kohdassa totuuden säilyminen on hieman erikoista, vaikka toinen väitteistä olikin epätosi. Epätosi voi päivittyä todeksi, jolloin totuus säilyy.

4) Alin rivi tarjoaa sitten tilanteen, jossa kumpikaan väitteistä M ja N ei ole totta, eli ne ovat epätosia. Tällöin totuus ei vääristy, vaikka muodostetaan looginen päättely M ⇒ N. Kun epätodesta seuraa epätosi, on se totuuden kannalta totta.

Implikaation (M ⇒ N) suhteen laaditussa totuustaulussa ainoastaan tilanne, jossa todesta seuraa epätosi, ei ole totta. Muutoin totuus säilyy loogisesti, vaikkakin se on hyvin erikoista. Huomautus: Tässä yhteydessä voi pohtia jokaisen ihmisen omaa maailmaa, jossa uskomukset ja tunnereaktiot värittävät totuutta. Vaikka ihmisen omassa maailmassa olisi epätosia uskomuksia, ne voivat silti näennäisesti saavuttaa totuusarvon ”tosi” ihmisen päättelyssä. Tällaiset vääristymät eivät välttämättä lainkaan kuluta ihmistä sisältä päin, vaan ihminen yksinkertaisesti uskoo olevansa oikeassa, vaikkakin hänen perustelunsa totta oleville uskomuksille olisivat epätosia. Ainoa selkeä ristiriitatilanne tulee, kun tosiasiasta seuraa epätosi. Otetaan vertailun vuoksi esimerkit:

i) Minulla on supervoimia, siksi osaan parantaa. Ihminen voi osata intuitiivisesti parantaa ja auttaa muita ihmisiä (tosi), vaikka hänen perusteensa siihen olisivatkin epätosi. Tässä tilanteessa siis epätodesta seurasi tosi. Otetaan seuraavaksi tilanne, jossa todesta seuraa epätosi:

ii) Osaan parantaa ihmisiä, siksi minulla on supervoimia. Tässä ero tulee hyvin esille. Nyt todesta seuraa epätosi, ja siksi lopputulema on ristiriidassa todellisuuden kanssa.

Huomioitavaa on myös se, ettei tilanteessa ole voimassa ekvivalenssi, sillä loogisuus ei päde molempiin suuntiin.

Lisähuomautus: Vaikka ihmisen sisäisen, oman maailman oma totuus perustuu osin epätosiin uskomuksiin ja muihin vääristymiin, yleisyksiin, poisjättöihin, ylimääräisiin lisäyksiin ja vääriin linkityksiin, ei kenenkään oman totuuden kuulu sisältää tilanteita, joissa totuustaulun mukaisesti totuus joutuu ristiriitaan. Jos omassa maailmassa on tällaisia loogisia ristiriitoja, ne kuluttavat ihmistä sisältä päin kaikkein eniten. Ihmisen sisäiset, epätosista päättelyistä seuraavat ristiriitaisuudet voivat aiheuttaa jopa masennusta, ahdistusta, sekä lähes kaikenlaisia fyysisiä ja henkisiä sairauksia. Esimerkiksi monet migreenipotilaat ovat huomanneet, miten heidän pääkipunsa triggerinä voi toimia jokin tietty ristiriita. Jos esimerkiksi vihan tunteesta seuraa pokerinaama, eli ihminen ei salli itselleen vihan tunnetta, tai ainakaan ei anna sen lainkaan näkyä, syntyy ristiriita todellisuuden kanssa. Vihan tulisi oikeasti kurtistaa ihmisen kulmakarvoja ja muutenkin selvästi näkyä ulospäin ja tuntua sisällä. Jos ihminen toistuvasta näyttää vihaisena pokerinaamaansa, kasvaa sisäinen ristiriita kokoajan… Viha ei kuitenkaan häviä mihinkään, vaan se vain kasvaa piilossa, ja siksi tällaisessa tilanteessa on jossain vaiheessa odotettavissa räiskyviä itkupotkuraivareita tai jopa narsistisia vihanpurkauksia.

 

Ekvivalenssi totuustaulu

Ekvivalenssi (M ⇔ N) totuustaulu, eli taulukon oikeanpuoleisin sarake, on edellistä esimerkkiä paljon yksinkertaisempi. Ekvivalenssissa odotetaan, että molemmat lauseet seuraavat molemmista, ja siksi vain sellaiset tilanteet, joissa lauseiden totuusarvot ovat samoja, pystyvät säilyttämään totuuden.

Ekvivalenssin loogista sääntöä voi käyttää monesti napatakseen kiinni oman maailman tai jonkin toisen ihmisen väitteen ristiriitoja. Jos esimerkiksi ihminen uskoo, että profeetta voi tuomita ihmisen teoistaan, häneltä voi kysyä, ovatko kaikki toisten ihmisten tuomitsijat profeettoja?

Implikaation (A ⇔ B) käyttäminen saattaa joskus vääristää ajattelumaailmaa, vaikka siinä säilyisikin syyn ja seurauksen laki. Tämän vuoksi korkeampi moraali - universaali etiikka - käyttää pääsääntöisesti ekvivalenssia (A ⇔ B). Otetaan esimerkki kultaisesta säännöstä.

 

Esimerkki (Kultainen sääntö)

Kultainen sääntö löytyy lähes jokaisesta maailman valtauskonnosta, suunnilleen samassa muodossa. Eri uskontojen kultaiset säännöt löydät tästä linkistä. Tutkitaan seuraavaksi kultaista sääntöä juuri opituilla logiikan voimavaroilla.

”Kaikki, minkä tahdotte ihmisten tekevän teille, tehkää se heille.”

Pätkitään lause osiin:

A = ”Tahdon ihmisten tekevän asian x minulle.”

B = ”Teen asian x ihmisille.”

Tehdään esimerkistä vielä sen verran konkreettinen, että sijoitetaan asian x paikalle ”hädässä olevan auttaminen”. Nyt saadaan:

A = ”Tahdon ihmisten auttavan minua, jos olen hädässä.”

B = ”Autan hädässä olevia ihmisiä.”

Jos toimimme vain syyn ja seurauksen lain mukaan implikaatiomaisesti, meillä on taas ne neljä eri tilannetta, joista vain tilanne (B = epätosi) tarjoaa totuuden häviämisen.

- Ainoastaan siis tilanne, jossa itse odotamme saavamme apua hädässä, mutta emme itse ole valmiita auttamaan hädässä olevia aiheuttaa ristiriidan.

- Sisäistä ristiriitaa ei synny, jos annamme ja otamme vastaan apua.

- Ristiriitaa ei myöskään tule, jos emme anna, mutta emme halua itsellekään apua.

- Eikä ristiriitaa synny, vaikka emme haluaisi meitä autettavan, mutta silti auttaisimme muita.

Tämä on hyvin mielenkiintoista. Ainoastaan silloin syntyy ristiriita, jos me itse haluamme apua, mutta emme ole valmiita sitä muille antamaan. Sama ajattelu pätee hyvin, jos ihminen ajattelee haluavansa itselleen ja lapsilleen koulutuksen ja lääkäripalvelut kotimaastaan, muttei ole valmis maksamaan veroja kotimaahansa. TAI Jos ihminen ottaa kunnian jostain tiedosta tai asiasta itselleen, eikä ole valmis ilmoittamaan lainaamansa tiedon lähteitä. Tämä aiheuttaa sisäisen ristiriidan. Ihminen toimii, kuten varas: hän ottaa itselleen, muttei ole valmis maksamaan siitä hintaa tai antamaan muille.

Nyky-yhteiskunta toimii ihmisten henkisenä laastarina korjaten ihmisten sisäistä ristiriitaa. Jokaiselle yhteiskunnan jäsenelle on annettu oikeus esimerkiksi terveyspalveluihin, vaikka ihmiset eivät itse auttaisi ketään hädässä olevia. Valtion lainsäädäntö paikkaa ihmisen vuotavaa sielunarkkia, mutta sisäistä ristiriitaa se ei kuitenkaan kykene poistamaan. Siihen kykenee vain ihminen itse…

Ekvivalenssi tapa ajatella nostaa meidät seuraavalle moraalitasolle. Ekvivalenssissa totuustaulussa oli siis vain kaksi vaihtoehtoa, joilla totuus säilyy. Jos sekä A ja B ovat totta, tai kumpikaan niistä ei ole. Tässä esimerkissä aktivoituu ikivanha sanonta ”niin makaa kuin petaa”, sekä ”sitä niität, mitä kylvät”. Toisaalta ekvivalenssi totuus on julmaa: jos emme auta toisia, meitäkään ei auteta. Mutta toisaalta se on niin oikeudenmukaista: jos autamme toisia, meitäkin autetaan. Näin ekvivalenssi totuustaulu kuvaa universaalilla tasolla hyvän ja pahan voiman suhdetta – ne molemmat ovat totta, ja ihmisen valittavissa. Totuudentalossa näitä kahta polkua kutsutaan Turmion tieksi ja Totuuden tieksi. Ihmisen pitää oikeastaan tehdä vain yksi perustavanlaatuinen valinta elämässään – se on, kumpaa tietä hän päättää elämänsä kulkea. Toinen tie johtaa sisäiseen TAI ulkoiseen kärsimykseen, toinen rauhaan.

Kun ihminen oppii toteuttamaan sisäisessä maailmassaan ekvivalenssin lakia, ihminen ei enää vain ota tai anna, vaan hän saavuttaa ottamisen ja antamisen suhteen tasapainon. Ekvivalenssin laki ei myöskään ole henkilökohtainen, sillä kultainen sääntö ei käske meitä olemaan kiltti peralle, jotta perakin olisi kiltti meille. Kultainen sääntö on universaali ohje, kuten karman lakikin on. Kun annamme jonnekin hyvää, hyvä tulee joskus meille takaisin, missä tahansa muodossa, kenen tahansa kautta. Se ei ole meidän tehtävämme päättää tai määritellä, miten mikäkin asia maailmankaikkeudessa kiertää. Me ihmiset voimme vain alistua universaalien lakien alaisuuteen, eli oppia toimimaan niiden kanssa tasapainossa, ei niitä vastaan.

 

Määritelmä (Tautologia ja ristiriita)

Lause, joka on aina tosi, on tautologia. Lause, joka on aina epätosi, on ristiriita (kontradiktio).

 

Huomautukset: Tautologiassa lauseen totuusarvo on 1 totuustaulun jokaisella rivillä. Vastaavasti ristiriidassa lauseen totuusarvo on 0 totuustaulun jokaisella rivillä.

 

Ohessa on lista matematiikan ja logiikan kannalta merkittävistä tautologioista. Listaa ei tässä vaiheessa kuitenkaan käydä sen tarkemmin läpi, vaan se on jokaisen halukkaan oma harjoitustehtävä.

Kaksoiskiellon laki ¬¬p ⇔ p

De Morganin lait ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

Kontraposition laki (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

Vaihdantalaki p ∧ q ⇔ q ∧ p

Liitäntälaki p ∧ (q ∧ r) ⇐ (p ∧ q) ∧ r

 

KET on tautologia ja ristiriita yhtä aikaa

Totuudentalossa esitetty Kaiken ja ei minkään teoria (KET) on tautologia ja ikuinen ristiriita yhtä aikaa. Puretaan KET seuraavaksi auki. Merkitään

A = ”Kaiken teoria”

B = ”Ei minkään teoria”

Tässä pätee logiikan sääntöjen mukaisesti B = ¬A (*).

Ja sitten voimme ottaa vielä mukaan loogisen operaattorin TAI. Vaikka arkikielessä KET lausutaan kaiken ”ja” ei minkään teoria, logiikassa meidän pitää käyttää operaattoria TAI, sillä kuten yllä määriteltiin, se sisältää ”joko tai” ja ”sekä että” tilanteet. KET viittaa tässä sekä että -tilanteeseen.

Näin saadaan looginen lause

A ∨ B,

joka on siis sama asia kuin

A ∨ ¬ A (perusteet yllä kohdassa *).

Tilanne A ∨ ¬ A on matematiikassa yleisesti tunnettu nimellä poissuljetun kolmannen laki ja se on tautologia. Jotta meidän ei tarvitse olla sokeita uskovaisia, voimme myös totuustaulun avulla suoraan todistaa tämän väitteen.

 

Totuustaulu KET:n suhteen

A	B = ¬ A	A ∧ B = A ∧ ¬ A	A ∨ B = A ∨ ¬ A
1	0	0	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	1	0	1

Totuustaulu siis todistaa, että koska loogisesti A ei voi olla 1 ja 0 yhtä aikaa, niin silloin A:n negaatio on sen vastakohta. Jos A on 1, negaatio on 0, ja päinvastoin. Näin ollen viimeiseen sarakkeeseen, johon otetaan TAI -operaattori mukaan, muodostuu tautologia – kaikki totuusarvot ovat 1.

Kun teemme saman prosessin vain yhdellä muutoksella, saamme aikaan ikuisen ristiriidan. Kaikkein huvittavinta tässä on se, ettei sanallisesti mikään muutu. Otamme siis jälleen ”kaiken teorian” JA ”ei minkään teorian”. Nyt kaikki huomio on sanassa JA. Loogisesti tämä on täysin eri asia kuin edellinen ”ja”, jota merkittiin loogisesti ”TAI”. Nyt tässä yhteydessä ”JA” tarkoittaa väitteiden yhtäaikaista totuutta. Kun muodostamme näin uuden totuustaulun (toinen sarake oikealta), saamme aikaiseksi pelkkää epätotta, eli ristiriidan. Näin Kaiken JA ei minkään teoria muodostaa loogisesti ristiriidan.

Jos haluamme kuvata KET:iä mahdollisimman totuudenmukaisesti, meidän ei kannata ottaa lopullista kantaa siihen, onko oikein merkitä Kaiken JA ei minkään teoria, vai Kaiken TAI ei minkään teoria, tai Kaiken JA/TAI ei minkään teoria. Sen sijaan voimme tehdä niin erikoisen liikkeen, että jätämme loogisen operaattorin kokonaan pois. Näin saadaan: Kaiken ei minkään teoria. Vaihtoehtoinen lausumismuoto voisi olla: Kaikki ei mistään teoria. Ja edelleen lyhennyksenä toimii KET.

KET osoittaa meille, miten looginen osaamisemme loppuu kesken, kun yritämme kuvailla Jumalaa. No miksi puhumme tässä yhteydessä Jumalasta? No siksi, että voimme muodostaa samat joukot niin, että käytämme A = ”Jumala on” ja B = ”Jumala ei ole”. Ja näin pääsisimme taas tilanteeseen, jossa meillä olisi Oleva Jumala ei olevasta, ja joka olisi tautologia ja ikuinen ristiriita yhtä aikaa. Tämän vuoksi joudumme nöyrtymään ja tunnustamaan Jumalan ja sitä kuvaavan KET:n olevan jotain loogisen käsityskyvyn tuolla puolen – jossain kohtaa ei missään, tai ei missään jossain. Totuudentalossa tästä käytetään ilmaisua KET.

 

Logiikkaan liittyvät lisä- TAI vaihtoehtoismateriaalit:

Pikapaketti logiikkaan

Helsingin yliopiston wikistä ladattu Logiikka -pdf